证明在卡美洛是如何准备的

我们研究一种设计框架，用于鲁棒、可独立验证且工作负载均衡的分布式算法，这些算法处理公共输入。基于该框架的算法本质上是Reed--Solomon码的一种分布式编码过程，其能够实现(a)针对拜占庭故障的鲁棒性，具有内在纠错和故障节点识别，以及(b)独立的随机化验证以检查整个计算的正确性，其所耗资源基本上不超过每个节点单独贡献于计算的开销。该框架构建于Williams~[{\em Electron.\ Colloq.\ Comput.\ Complexity}, Report TR16-002, January 2016]最近的批量评估的Merlin--Arthur证明之上，并观察到批量评估不需要{\em Merlin的魔法}---纯粹的Knights可以并行地、带有内在纠错地准备证明。本文的贡献在于表明，在许多情况下，可验证批量评估框架所容纳的算法在总资源消耗上匹配已知最好的用于解决该问题的顺序算法。作为主要结果，我们表明，对于任意常数$\epsilon>0$以及能被$6$整除的正整数$k$，一个$n$-顶点图中的$k$-团可以被计数{\em 并且}在$O(n^{(\omega+\epsilon)k/6})$个计算节点上以每节点$O(n^{(\omega+\epsilon)k/6})$的时间和空间进行验证，其中$2\leq\omega<2.3728639$是矩阵乘法的指数。这在总运行时间上匹配了由Ne{\v{s}}et{\v{r}}il和Poljak [{\em Comment.~Math.~Univ.~Carolin.}~26 (1985) 415--419]给出的最佳已知顺序算法，并显著改善了其空间使用和并行性。进一步的结果包括用于稀疏图中三角形计数、计算图的色多项式以及计算图的Tutte多项式的新算法。