在计分监督中实现诚实报告：通过 Prekopa 原理证明 True-KL$_0$ 属性

我们证明了来自计分性elicitation机制（AI 监督、预测竞赛、专家调查）的一族异构计分规则的 True-KL$_0$ 属性。一个 $d$ 维代理人持私有类型 $M>1$，向主体报告，以 $p \in (d,d+1)$ 的幂-$p$ 伪球形计分规则进行评估；$M$ 捕获代理人信息质量相对于参考值的程度。一个精确公式 $G(M,M') = -R(M,p,d) U(M|M)$ 显示 DSIC 无条件成立：诚实报告在每种 $M>1$ 下都最大化预期得分，无需分布性假设。True-KL$_0$，即属性 $R(M,p,d)<1$ 对所有 $M>1$, $d \in \{2,3,4\}$, $p \in (d,d+1)$ 成立，给出显式的收益幅度界限：最佳误报总是劣于诚实得分本身。两个结构性工具驱动该证明：(i) 代换 $y=(x+1)/(x-1)$ 将损失积分 $I_L$ 重写为 $\int_1^M F(y)(M^2-y^2)^{d/2} dy$，其中权重 $F(y)>0$ 与 $M$ 无关，将所有 $M$ 依赖性隔离于单个凸因子中；(ii) Prekopa 定理关于 log-concavity 的保持性质证明 $I_L$ 对 $M$ 为 log-concave，这是 $R$ 单调性证明的关键步骤。对于 $d=2$，log-concavity 证明完全为代数方法。对于 $d \in \{3,4\}$，Prekopa 论证（覆盖 $M \le M_{cut}(d,p) \le 20$）结合对残余区域 $M \in [M_{cut}, 20]$ 的高精度数值步骤，闭合 $M>20$ 的大 $M$ 渐近分析。我们还描述了维度边界：True-KL$_0$ 对所有 $p \in (d,d+1)$ 无条件成立当 $d \le 4$，但在 $d \ge 5$ 时会在临界阈值 $p_{crit}(d) \in (d,d+1)$ 处失败；对于 $d=5$，我们通过高精度 mpmath 评估定位 $p_{crit}(5) \in (5.5718, 5.5750)$（半宽 0.0016，非区间认证）。