超越二元树与超度量的层次化链接聚类

层次聚类通过构建聚类树来揭示数据中的嵌套结构，其中较深的层次揭示更细粒度的关系。传统方法，包括链接方法，面临三个主要局限性：(i) 它们总是返回一个层次结构，即使不存在层次结构；(ii) 它们限制于二元树，即使真实层次结构为非二元；(iii) 它们对链接函数的选择高度敏感。本文通过引入有效层次的概念，并定义了有效层次集合上的偏序来解决上述问题。我们证明了最优有效层次的存在，即编码数据集相似结构所能获得的最大信息的层次。特别地，最优有效层次不受二元结构限制，当不存在层次关系时，会折叠为星形树。我们提出了一个简单的两步算法，首先通过链接方法构建二元树，然后对其进行修剪以实现有效性。我们确立了该程序在何种情况下能够精确恢复最优有效层次的必要充分条件，并表明所有满足这些条件的链接函数在修剪后都会产生相同的层次。值得注意的是，经典的链接规则如单链接、完全链接和平均链接都满足这些条件，而沃尔德链接则不满足。