无权图的层次聚类

我们研究了在近期提出的 Dasgupta 目标函数下，寻找无权相似图的最优层次聚类的复杂度。我们引入一种称为归一化过程的证明技术，它取图 $G$ 的任意此类聚类并迭代改进，直至达到所需的 $G$ 目标聚类。我们利用该技术给出了一个负向和一个正向的复杂度结果。首先，我们证明该问题一般而言是 NP 完全的。其次，我们考虑最小良态图，即图 $H$ 具有如下性质：对任意 $k$，由 $k$ 个 $H$ 的拷贝的联图构成的图 $H(k)$ 存在一种最优层次聚类，以相同最优方式分割每个 $H$ 拷贝。因此，要最优聚类这样的图 $H(k)$ 只需最优聚类较小的图 $H$。共二部图是最小良态的，但除此之外它们似乎很稀少。我们利用归一化过程证明 6 个顶点的圈也是最小良态的。