小字母表上（多）最长公共子序列的近似硬度

寻找最长公共子序列（LCS）的问题是计算机科学中的基本问题之一，在计算生物学、文本处理、信息检索、数据压缩等领域有应用。众所周知，寻找任意数量输入序列的 LCS 长度的问题（我们称之为 Multi-LCS 问题）的判定版本是 NP-完全的。Jiang 和 Li [SICOMP'95] 证明，如果 Max-Clique 在因子 $s$ 内难以近似，则 Multi-LCS 在因子 $\Theta(s)$ 内也难以近似。由 Zuckerman [ToC'07] 关于近似 Max-Clique 的 NP-困难性可知，对于任意常数 $\delta>0$，除非 {\tt{P}}$=${\NP}，否则在多项式时间内无法在 $n^{1-\delta}$ 因子内近似每条长度为 $n$ 的任意数量输入序列的 LCS 长度。然而，Jiang 和 Li 的归约假设字母表大小为 $\Omega(n)$。迄今为止，对于在次线性大小字母表上近似 Multi-LCS 的问题尚无硬度结果。另一方面，对于字母表 $\Sigma$ 的字符串，容易得到 $1/|\Sigma|$-因子近似。在本文中，我们通过展示从具有{\em 完美完备性}的著名\emph{最稠密 $k$-子图}问题到在大小为 $poly(n/k)$ 的字母表上近似 Multi-LCS 的多项式时间归约，在证明小字母表上的近似硬度方面取得了显著进展。作为结果，由已知的最稠密 $k$-子图问题的硬度结果（如 [Manurangsi, STOC'17]），我们得到除非指数时间假设不成立，否则任何多项式时间算法都无法在大小为 $n^{o(1)}$ 的字母表上对 Multi-LCS 给出 $n^{-o(1)}$-因子近似。