光滑 G-Hilbert 方案家族的笔记

设 G = Z/rZ 为阶为 r 的循环群，设 varpi = e^{2πi/r} 表示原始 r 次单位根。考虑 G 对 C^n 的作用，通过嵌入 $$varphi : G 嵌入 GL_n(C), \qquasvarphi(1) = mathrm{diag}!\bigl( underbrace{varpi, dots, varpi}_s, underbrace{varpi^{-1}, dots, varpi^{-1}}_{n - s} bigm) ),$$其中 0 < s < n。记相应的 GIT 商数为 $$mathcal{X}_{s,n,r} = mathrm{Spec}bigl((C[z_1,dots,z_n])^G bigr).$$则 varietes $mathcal{X}_{s,n,r}$ 是类型为 $frac{1}{r}bigl(underbrace{1,dots,1}_s, underbrace{-1,dots,-1}_{n-s} bigr)$ 的循环商奇点。我们证明了相关的 G-Hilbert 方案 $mathcal{Y}_{s,n,r}$ 是光滑的、连通的和不可约的。自然的态映 $$rho_{s,n,r}:mathcal{Y}_{s,n,r} to mathcal{X}_{s,n,r}$$是 $mathcal{X}_{s,n,r}$ 的射影解析，对于 n >= 3 时是 discrepancy 的。我们建立了 central fiber $rho_{s,n,r}^{-1}(0)$ 的不可约组成部分与 G 的非平凡字符之间存在双曲映射， thereby 实现了该家族示例中的经典 McKay 对应。最后，我们通过 Fourier--Mukai 类型函子 $$Psi : D^b(mathrm{Coh}_G(C^n)) to D^b(mathrm{Coh}(mathcal{Y}_{s,n,r})),$$给出该双曲映射的规范选择，证明对于每个非平凡不可约表示 G，对应的 skyscraper sheaf 被映射到一个其 0^{th} 余弦在 central fiber $rho_{s,n,r}^{-1}(0)$ 的唯一不可约组成部分上支持的复合物。