利用有效电阻进行图聚类

$\def\vecc#1{\boldsymbol{#1}}$我们设计了一个多项式时间算法，对于任意加权无向图 $G = (V, E,\vecc w)$ 和足够大的 $\delta > 1$，将 $V$ 划分为若干子集 $V_1, \ldots, V_h$（其中 $h\geq 1$），使得 $\bullet$ 至多 $\delta^{-1}$ 比例的权重位于簇之间，即 $$w(E - \cup_{i = 1}^h E(V_i)) \lesssim \frac{w(E)}{\delta};$$ $\bullet$ 每个诱导子图 $G[V_i]$ 的有效电阻直径至多为平均加权度的 $\delta^3$ 倍，即 $$\max_{u, v \in V_i} \mathsf{Reff}_{G[V_i]}(u, v) \lesssim \delta^3 \cdot \frac{|V|}{w(E)} \quad \text{ 对所有 } i=1, \ldots, h.$$ 特别地，可以移除任意给定图边权重的百分之一，使得每个所得连通分量的有效电阻直径至多为平均加权度的倒数。我们的证明基于有效电阻与低电导集合之间的一个新联系。我们证明，若两顶点 $u$ 与 $v$ 之间的有效电阻很大，则必存在一个将 $u$ 与 $v$ 分离的低电导割。这意味着非常温和扩张的图具有常数的有效电阻直径。我们相信这一联系在算法设计中具有独立意义。