回归基础：利用轨道运动的泰勒级数展开加速系外行星凌星建模

系外行星凌星模型评估时间的很大一部分用于计算行星与其宿主恒星之间的投影距离。对于圆轨道这是相对快速的操作，但对于偏心轨道则较慢。然而，由于行星的位置及其时间导数在轨道相位的任意特定点处为常数，可通过在中凌时刻将行星在天空平面中的$x$和$y$位置展开为泰勒级数，在凌星附近快速且准确地计算投影距离。利用位置矢量的前四个时间导数（速度、加速度、急动度和snap）计算椭圆轨道的投影距离比使用牛顿法快约100倍，且比计算圆轨道的$z$也显著更快，因为该方法不使用数值昂贵的三角函数。投影距离计算的速度提升使得凌星模型评估速度加快2-25倍，具体取决于凌星模型复杂度和轨道偏心率。使用数值微分计算四个位置导数在现代笔记本电脑上耗时约$1\,\mu$s，且对给定轨道只需计算一次，该近似引入凌星光变曲线的误差在大部分物理上合理的轨道参数空间内低于1 ppm。