有限变量逻辑中量词深度的界：交替层次结构

给定两个在 $\fo k$（$k$ 个变量的一阶逻辑）中可区分的结构 $G$ 和 $H$，令 $A^k(G,H)$ 表示区分 $G$ 与 $H$ 的 $\fo k$ 公式的最小交替深度。令 $A^k(n)$ 为 $n$ 元结构上 $A^k(G,H)$ 的最大值。我们证明了 $\fo 2$ 的量词交替层次结构在强定量形式下的严格性，即 $A^2(n)\ge n/8-2$，这在常数因子范围内是紧的。对于每个 $k\ge2$，即使在有色树上也有 $A^k(n)>\log_{k+1}n-2$，如果 $k\ge3$，这在常数因子范围内也是紧的。对于 $k\ge 3$，最后一个下界也适用于无色树，而 $\fo 2$ 的交替层次结构甚至在所有无色图上都会坍缩。我们还展示了 $n$ 个顶点的有色图 $G$ 和 $H$ 的示例，如果仅将交替数增加一，则可以在 $\fo 2$ 中以简洁得多的方式区分它们：虽然在 $\Sigma_{i}$ 中可以用有界的量词深度区分 $G$ 与 $H$，但在 $\Pi_{i}$ 中这需要 $\Omega(n^2)$ 的量词深度。此处的二次下界是最佳可能的，因为如果 $G$ 和 $H$ 可以在具有 $i$ 个量词交替的 $\fo k$ 中被区分，那么这可以用 $n^{2k-2}$ 的量词深度完成。