面向 $k$-边连通性的幻影值增广

我们给出了一个多项式时间算法，用于 $k$-边连通生成子图（$k$-ECSS）问题，该算法返回的解的代价不大于同一图上最廉价的 $(k+10)$-ECSS。我们的方法用一种新成分增强了迭代松弛框架，我们称之为幻影值（ghost values），它允许中间问题具有高稀疏性。只要 $(k+10)$-ECSS 的最优值接近 $k$-ECSS 的最优值，我们的保证就改进了 $k$-ECSS 已知最好的 $2$ 近似因子。这是密切相关的问题 $k$-边连通生成多子图（$k$-ECSM）所具有的性质，该问题与 $k$-ECSS 相同，只是边可以以相同代价被多次选取。因此，我们获得了 $k$-ECSM 的一个 $\left(1+O\left(\frac{1}{k}\right)\right)$-近似算法，这解决了 Pritchard 的一个猜想，并改进了 Karlin、Klein、Oveis Gharan 和 Zhang 最近的 $\left(1+O\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right)\right)$-近似算法。此外，我们给出了 $k$-ECSM 的一个匹配下界，表明我们的近似比在 $O\left(\frac{1}{k}\right)$ 的常数因子范围内是紧的，除非 $P=NP$。