Ramsey数反例检验与单顶点扩展的$s$和$t$线性界

Ramsey数$R(s,t)$是使得所有大小为$n$的图都包含大小为$s$的团或大小为$t$的独立集的最小整数$n$。$\mathcal{R}(s,t,n)$是给定$n$时不具有该性质的所有反例图的集合。我们证明，若大小为$n+1$的图$G_{n+1}$在$\mathcal{R}(s,t,n)$中拥有$\max\{s,t\}+1$个子图，则$G_{n+1}$属于$\mathcal{R}(s,t,n+1)$。基于此，我们引入了单顶点扩展和反例检验算法，其运行时间由$s$和$t$线性界定。我们通过验证给定当前集合$\mathcal{R}(4,6,35)$和$\mathcal{R}(5,5,42)$时，$\mathcal{R}(4,6,36)$和$\mathcal{R}(5,5,43)$为空，来证明这些算法的有效性。