非标准内积下矩阵奇异值分解的推广及其在线性不适定问题中的应用

矩阵的奇异值分解（SVD）是处理许多矩阵计算问题的有力工具。在本文中，我们考虑推广标准 SVD，以分析和计算由第一类 Fredholm 积分方程离散化产生的线性不适定问题的正则化解。对于常用的离散化求积方法，应采用形如 $\|x\|_{M}^2:=x^TMx$ 的正则化项，其中 $M$ 为对称正定矩阵。为处理该正则化项，我们给出了 $M$-内积下矩阵的加权 SVD（WSVD）。我们研究了 WSVD 的几个重要应用，如低秩近似和求解具有最小 $\|\cdot\|_M$-范数的最小二乘问题。我们提出了加权 Golub-Kahan 双对角化（WGKB）来计算几个主导的 WSVD 分量，并提出了相应的加权 LSQR 算法以迭代求解最小二乘问题。所有上述工具和方法均用于分析和求解带有正则化项 $\|x\|_{M}^2$ 的线性不适定问题。我们提出了一种基于 WGKB 的子空间投影正则化方法，以高效计算良好的正则化解，该方法能够融合由正则化项 $\|x\|_{M}^2$ 编码的关于 $x$ 的先验信息。进行了若干数值实验以说明我们方法的有效性。