广义奇异值阈值化

本研究探讨了广义奇异值阈值化（GSVT）算子 ${\text{Prox}}_{g}^{{\sigma}}(\cdot)$，\begin{equation*} {\text{Prox}}_{g}^{{\sigma}}(B)=\arg\min\limits_{X}\sum_{i=1}^{m}g(\sigma_{i}(X)) + \frac{1}{2}||X-B||_{F}^{2}, \end{equation*} 该算子与定义在 $X$ 的奇异值上的非凸函数 $g$ 相关联。我们证明，由于当 $g$ 有下界时 $\text{Prox}_g(\cdot)$ 是单调的，因此可以通过对奇异值执行 $g$ 的近端算子（记为 $\text{Prox}_g(\cdot)$）来获得 GSVT。如果非凸函数 $g$ 满足某些条件（许多流行的非凸替代函数，例如 $\ell_0$-范数的 $\ell_p$-范数，$0<p<1$，即为其特例），我们提出了一种通用求解器来对任意 $b\geq0$ 求 $\text{Prox}_g(b)$。GSVT 极大地推广了已知的奇异值阈值化（SVT），后者是许多凸低秩最小化方法中的基本子程序。我们能够通过使用 GSVT 替代 SVT 来求解非凸低秩最小化问题。