常系数线性偏微分方程组的高斯过程先验
机器学习
2023-11-03 v4 机器学习
数值分析
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摘要
偏微分方程（PDEs）是建模物理系统的重要工具，将其纳入机器学习模型是融入物理知识的重要方式。给定任意常系数线性 PDE 方程组，我们提出一类高斯过程（GP）先验，称之为 EPGP，使得其所有实现均为该方程组的精确解。我们应用 Ehrenpreis-Palamodov 基本定理，其充当非线性傅里叶变换，来构造反映 GP 标准谱方法的 GP 核。我们的方法可从任意数据（如含噪测量值或逐点定义的初边值条件）推断线性 PDE 系统的可能解。构造 EPGP 先验是算法化的、普遍适用的，并带有一个稀疏版本（S-EPGP），可学习相关谱频率且更适用于大数据集。我们在三类 PDE 系统——热方程、波动方程与麦克斯韦方程组——上演示了我们的方法，在计算时间与精度上均优于现有最优方法，在某些实验中达数个数量级。
引用
@article{arxiv.2212.14319,
title = {Gaussian Process Priors for Systems of Linear Partial Differential Equations with Constant Coefficients},
author = {Marc Härkönen and Markus Lange-Hegermann and Bogdan Raiţă},
journal= {arXiv preprint arXiv:2212.14319},
year = {2023}
}
备注
26 pages, 8 figures; ICML 2023 (oral); updated with expanded appendices and ancillary files. Code available at https://github.com/haerski/EPGP. For animations, see https://mathrepo.mis.mpg.de/EPGP/index.html. For a presentation see https://icml.cc/virtual/2023/oral/25571. The paper and all ancillary files are released under CC-BY