Helmholtz 方程的变分原理：用于有限元和神经网络近似的应用

本文我们探讨了是否可以为受阻抗(吸收)边界条件约束的 Helmholtz 方程建立变分原理。该模型已在文献中从数学和计算两个视角广泛研究。它是经典问题，应用广泛，但在高 wavenumber 下的 accurate 近似仍具有挑战性。我们回答是否存在具有清晰物理解释的能量泛函，其一变分的零点对应 Helmholtz 问题的解。我们从波方程的 Hamilton 原理出发，推导 time-harmonic 能量。 resulting functionals generally indefinite。随后，我们构建这些 indefinite functionals 的 strongly coercive augmentations，以保留其物理解释。最后，我们展示这些变分原理如何导致基于有限元空间和神经网络架构的实用数值方法。