从视频到 PDE：非线性染料羽流动力学的数据驱动发现

直接从视频推断连续介质模型受到两个事实的阻碍：记录的场是未校准的图像强度而非物理状态，且对含噪帧进行直接数值微分是不稳定的。我们开发了一种 video-to-PDE 流水线，将墨水羽流的灰度记录转换为归一化标量场 $u(x,y,t)$，通过强度加权质心从内在扩散中分离出整体漂移 $\mathbf{v}(t)$，并通过弱形式稀疏回归识别有效的传输规律。条件化、阈值扫描和随机中心诊断表明，过完备库具有强共线性；因此搜索被限制在紧凑的基于梯度的库中。系数通过逆物理信息网络进行优化，并针对前向展开进行重新校准，同时使用按时间顺序的分块自助法量化不确定性。所选的简化模型 $u_t+\mathbf v(t)\!\cdot\!\nabla u = 9.005\,|\nabla u|^{2}+0.666\,\Delta u$ 在留出帧上优于平流-扩散基线，保持正的拉普拉斯系数，并允许 Cole-Hopf 简化为线性平流-扩散方程。该框架表明，当发现、校准和不确定性被视为不同阶段时，未校准的视觉数据可以产生紧凑、具预测性且结构可解释的连续介质模型。