从树到条形码再回到树 II：拓扑逆问题的组合与概率方面

在本文中，我们考虑了如何构造实现给定条形码的合并树这一逆问题的两个方面。我们的研究大部分利用了最近发现的对称群与一般位置条形码之间的联系，该联系基于死亡顺序是出生顺序的一个排列这一简单观察。我们研究的第一个重要成果是，系统发育树空间（由 Billera、Holmes 和 Vogtmann 定义）与合并树空间之间存在明确的组合区别。具有 $n+1$ 个叶节点的通用 BHV 树分为 $(2n-1)!!$ 个不同的分层，但合并树的相应数目等于划分格中极大链的数目，即 $(n+1)!n!2^{-n}$。我们研究的第二个方面是，在假设条形码使用对称群上的均匀分布进行采样的条件下，推导出了树实现数（实现给定条形码的合并树数目）分布的精确公式。我们能够刻画该分布的一些高阶矩，这部分得益于用 Dirichlet 卷积进行的重新表述。这种刻画提供了一种零假设，显然不同于在真实神经元数据中观察到的分布，并为开展更精确的科学分析打开了大门。