产生新无限类置换与弯曲函数的 Frobenius 线性平移子

我们通过推广 Kyureghyan [12] 引入的线性平移子概念，展示了有限域上许多无限类置换与弯曲函数的存在性。我们称这些平移子为 Frobenius 平移子，因为 $f : F_{p^n} \rightarrow F_{p^k}$（其中 $n = rk$）的导数形如 $f(x + u\phi) - f(x) = u^{p^i}b$，对固定的 $b \in F_{p^k}$ 与所有 $u \in F_{p^k}$ 成立，而非考虑对应于 $i = 0$ 的标准情形。这相当程度地扩展了承认上述形式线性平移子的颇为稀少的族 {f}。此外，我们解决了近期文章 [4] 中关于承认经典线性平移子的 $f$ 的存在性与精确刻画的若干开放问题，以及 [9] 中引入的寻找三个弯曲函数 $f_1, f_2, f_3$ 使得其和 $f_4$ 为弯曲且其对偶之和 $f_1* +f_2* +f_3* +f_4* = 1$ 的开放问题。最后，我们还明确了 $F_{p^n}$ 上两类与条件 $G(y) = -L(y)+(y+\delta)^s -(y+\delta)^{p^ks}$ 置换集合 $S =\{\beta \in F_{p^n} : Tr^n_k(\beta) = 0\}$ 相关的巨大置换族，其中 $n = 2k$ 且 $p > 2$。最后，我们给出了 [16] 中弯曲函数构造的推广，并利用 [4] 中发现的置换描述了一些新的弯曲函数族。