Frank-Wolfe 方法遇上 Shapley-Folkman 定理：求解线性约束下非凸可分问题的系统方法
最优化与控制
2025-05-22 v3
摘要
我们考虑线性约束下的可分非凸优化问题。对于这些问题，Shapley-Folkman 定理提供了目标函数非凸性作为函数形式的对偶间隙上界，但并未提供系统性的方法来构建满足该上界的原始可行解。本文发展了两阶段方法来实现上述目标。第一阶段以大规模原始可行解集合近似最优对偶值。第二阶段通过计算（近似）的 Caratheodory 表示将该集合修剪为一个原始解。我们方法的主要计算要求是目标函数的 Fenchel 共轭及其（次）梯度的可计算性。当函数定义域为凸时，本方法恢复了通过 Shapley-Folkman 获得的经典对偶间隙上界。当函数定义域为非凸时，本方法也会从文献中基于更一般非凸性概念的经典对偶间隙上界。
引用
@article{arxiv.2406.18282,
title = {Frank-Wolfe meets Shapley-Folkman: a systematic approach for solving nonconvex separable problems with linear constraints},
author = {Benjamin Dubois-Taine and Alexandre d'Aspremont},
journal= {arXiv preprint arXiv:2406.18282},
year = {2025}
}