流增强 II：无向图

我们提出了最近引入的流增强技术（flow-augmentation）的无向版本：给定一个无向多重图 $G$，其区分顶点为 $s,t \in V(G)$ 以及整数 $k$，可在随机化 $k^{O(1)} \cdot (|V(G)| + |E(G)|)$ 时间内采样一个集合 $A \subseteq \binom{V(G)}{2}$，使得如下性质成立：对于 $G$ 中基数不超过 $k$ 的任意包含意义下极小的 $st$-割 $Z$，$Z$ 在 $G+A$ 中（即添加了 $A$ 中所有边的多重图 $G$）以概率 $2^{-O(k \log k)}$ 成为 $s$ 与 $t$ 之间的最小基数割。与有向图版本 [STOC 2022] 相比，此处给出的版本具有更高的成功概率（$2^{-O(k \log k)}$ 而非 $2^{-O(k^4 \log k)}$）、运行时间界中对图大小的线性依赖，以及 arguably 更简单的证明。一个直接推论是，双目标 $st$-割（Bi-objective $st$-Cut）问题可在无向图上以随机化 FPT 时间 $2^{O(k \log k)} (|V(G)|+|E(G)|)$ 求解。