关于高维非线性抛物型偏微分方程和高维非线性倒向随机微分方程的多层 Picard 数值近似

抛物型偏微分方程（PDEs）和倒向随机微分方程（BSDEs）是物理学和金融工程中许多模型的关键组成部分。特别是，抛物型 PDEs 和 BSDEs 是金融衍生品定价和对冲最先进工具的基础。此类应用中出现的 PDEs 和 BSDEs 通常是高维且非线性的。由于此类 PDEs 和 BSDEs 通常没有显式解，因此近似求解此类方程是一个非常活跃的研究课题。在最近的文章 [E, W., Hutzenthaler, M., Jentzen, A., and Kruse, T. Linear scaling algorithms for solving high-dimensional nonlinear parabolic differential equations. arXiv:1607.03295 (2017)] 中，我们提出了一类基于 Picard 近似和多层蒙特卡洛方法的近似方法，并在对半线性热方程精确解的适当正则性假设下，证明了计算复杂度以 $O( d \, \epsilon^{-(4+\delta)})$ 为界，其中 $d$ 是问题的维数，$\epsilon\in(0,\infty)$ 是指定的精度，$\delta\in(0,\infty)$。在本文中，我们通过数值模拟测试了该算法在各种源于物理和金融的 100 维非线性 PDEs 上的适用性，展示了近似精度与运行时间的关系。这些 100 维示例 PDEs 的模拟结果在精度和速度方面都非常令人满意。此外，我们还回顾了文献中其他针对非线性 PDEs 和 BSDEs 的近似方法。