$^4$He超流相变中涡旋环的有限频率动力学

$^4$He超流相变的有限频率动力学可以用热激发涡旋环对振荡流场的响应来表述。关键参数是涡旋环的Hausdorff分形维数$d_H$，它影响动力学，因为作用在涡旋环上的摩擦力与环的总周长$P$成正比，而$P \sim a^{d_H}$，其中$a$是环的直径。求解涡旋环在频率$\omega$下响应的三维Fokker-Planck方程，得到在$T_{\lambda}$处超流密度随$\omega^{1/(d_H -1)}$变化。这种随$\omega$的幂律变化与Fisher、Fisher和Huse发现的标度形式一致，因为动力学指数$z$被识别为$z = d_H-1$。自回避涡旋环的Flory标度给出了分形维数与空间维数$d$的关系为$d_H = (d+2)/2$，对于d = 3得到$z = d/2 = 3/2$，与动力学标度完全一致。