容错多智能体优化：第三部分

我们研究在存在崩溃故障或拜占庭故障的情况下，具有实值标量输入/输出的凸（成本）函数之和的容错分布式优化问题。具体而言，目标是优化一个全局成本函数 $\frac{1}{n}\sum_{i\in \mathcal{V}} h_i(x)$，其中 $\mathcal{V}=\{1, \ldots, n\}$ 是智能体集合，$h_i(x)$ 是智能体 $i$ 的局部成本函数，最初仅智能体 $i$ 已知。由于在存在崩溃故障或拜占庭故障时无法精确优化上述全局成本函数，我们分别为崩溃故障和拜占庭故障定义了该问题的两个较弱版本。当某些智能体可能崩溃时，较弱问题的目标是生成一个输出，该输出是由 $$C(\sum_{i\in \mathcal{N}} h_i(x)+\sum_{i\in \mathcal{F}} \alpha_i h_i(x))$$ 构成的函数的极值点，其中 $\mathcal{N}$ 是无故障智能体集合，$\mathcal{F}$ 是故障智能体（崩溃智能体）集合，对每个 $i\in \mathcal{F}$ 有 $0\le \alpha_i\le 1$，且 $C$ 是一个归一化常数，使得 $C(|\mathcal{N}|+\sum_{i\in \mathcal{F}} \alpha_i)=1$。我们提出了一种迭代算法，其中每个智能体只需执行局部计算，并在每次迭代中发送一条消息。当某些智能体可能是拜占庭故障时，系统无法充分利用无故障智能体所保留的数据。相应较弱问题的目标是生成一个输出，该输出是由 $$\sum_{i\in \mathcal{N}}\alpha_i h_i(x)$$ 构成的函数的极值点，满足对每个 $i\in \mathcal{N}$ 有 $\alpha_i\geq 0$ 且 $\sum_{i\in \mathcal{N}}\alpha_i=1$。我们提出了一种迭代算法，其中仅需局部计算且每次迭代每个智能体仅发送一条消息，该算法确保至少有 $|\mathcal{N}|-f$ 个智能体的权重（$\alpha_i$）下界为 $\frac{1}{2(|\mathcal{N}|-f)}$。