拜占庭多智能体优化：第一部分

我们研究了具有实值标量输入/输出的凸（代价）函数之和的拜占庭容错分布式优化。具体而言，目标是优化全局代价函数 $\frac{1}{|\mathcal{N}|}\sum_{i\in \mathcal{N}} h_i(x)$，其中 $\mathcal{N}$ 为非故障智能体的集合，$h_i(x)$ 为智能体 $i$ 的局部代价函数，初始仅智能体 $i$ 自身知晓。一般而言，当部分智能体可能存在拜占庭故障时，上述目标无法实现，因为非故障智能体未必知晓故障智能体的身份，且故障智能体可任意行为。由于在上述全局代价函数在存在拜占庭智能体时无法被精确优化，我们定义了该问题的一个较弱版本。较弱问题的目标是产生一个输出，该输出是由非故障智能体局部代价函数构成的凸组合函数的一个最优点。更精确地，对于某些权重 $\alpha_i$（$i\in \mathcal{N}$）的选择，满足 $\alpha_i\geq 0$ 且 $\sum_{i\in \mathcal{N}}\alpha_i=1$，输出必须是代价函数 $\sum_{i\in \mathcal{N}} \alpha_ih_i(x)$ 的一个最优点。理想情况下，我们希望对所有 $i\in \mathcal{N}$ 有 $\alpha_i=\frac{1}{|\mathcal{N}|}$——然而由于故障智能体的存在，这无法保证。事实上，我们证明了可实现的非零权重（$\alpha_i$）的最大数量为 $|\mathcal{N}|-f$，其中 $f$ 为拜占庭智能体数量的上界。此外，我们提出了一些算法，确保至少 $|\mathcal{N}|-f$ 个智能体具有远离 0 的权重。我们还提出了一种低复杂度的次优算法，该算法确保至少 $\lceil \frac{n}{2}\rceil-\phi$ 个智能体具有远离 0 的权重，其中 $n$ 为智能体总数，$\phi$（$\phi\le f$）为拜占庭智能体的实际数量。