利用邻域并的顶点子集与顶点划分问题的快速FPT算法

我们引入了图参数布尔宽度，该参数与图中一个割的邻域的不同并集的数量相关。布尔宽度类似于秩宽度，后者与邻域的$GF[2]$和(1+1=0)的数量相关，而非布尔宽度所使用的布尔和(1+1=1)。我们针对一大类NP难的顶点子集和顶点划分问题给出了算法，这些算法在以布尔宽度、秩宽度或团宽度为参数时是FPT的，并且在给定相关最优分解的情况下，运行时间关于任一参数都是单指数级的。为了比较布尔宽度与秩宽度或团宽度，我们首先证明，对于任何图，其布尔宽度的平方根永远不会超过其秩宽度。接下来，我们展示了一类图——Hsu网格，对于这类图，如果使用正确的参数，我们可以在多项式时间内解决NP难问题。一个包含${1/10}n^2$个顶点的$n \times \frac{n}{10}$ Hsu网格，其布尔宽度为$\Theta(\log n)$，秩宽度为$\Theta(n)$。此外，此类图的任何最优秩分解的布尔宽度都为$\Theta(n)$，即相对于最优布尔宽度呈指数级增长。一个主要的开放问题是，如何比[Hlin\v{e}n\'y and Oum, 2008]中秩宽度算法给出的结果更好地近似布尔宽度。