通过位置-朝向空间中的权值共享实现快速且具表现力的 SE$(n)$ 等变网络

基于齐性空间理论，我们推导了在灵活的消息传递框架中使用的几何最优边属性。我们将卷积网络中的权值共享形式化为对应当被同等对待的点对之间共享消息函数。我们定义了在点对变换下直至群作用完全相同而一致的等价类，并推导了唯一标识这些类的属性。随后通过使消息函数以这些属性为条件来实现权值共享。作为该理论的应用，我们开发了一种高效的等变群卷积网络用于处理三维点云。齐性空间理论告诉我们如何对位置齐性空间 $\mathbb{R}^3$、位置与朝向齐性空间 $\mathbb{R}^3 {\times} S^2$ 以及群 $SE(3)$ 本身上的特征图进行群卷积。其中，$\mathbb{R}^3 {\times} S^2$ 因能够表示方向信息（这是 $\mathbb{R}^3$ 方法所不能的）而成为最优选择，并且与在完整 $SE(3)$ 群上索引特征相比显著提升了计算效率。我们在二维和三维的五个不同基准上以准确率和速度方面的前沿结果支持了上述主张，包括原子间势能预测、N 体系统轨迹预测以及通过等变扩散模型生成分子。