MST的高效紧凑自稳定验证、计算与故障检测

本文展示了分布式证明局部验证作为自稳定算法设计工具的有用性。特别地，它引入了某种广义的分布式局部证明概念，并利用其在保持空间最优的同时显著改善时间复杂度。结果，我们表明在最小生成树（MST）背景下，优化内存大小至多带来微小的时间代价。即，我们提出了在构造MST与验证MST方面均兼具时间与空间效率的算法。这涉及若干可视为独立贡献的部分。首先，我们推广了局部证明的概念，以时间复杂度换取内存效率。这为近来受到关注的分布式局部证明研究增添了维度。具体地，我们设计了一种（自稳定的）证明标记方案，其内存最优（即每节点$O(\log n)$比特），且时间复杂度在同步网络中是$O(\log^2 n)$，或在异步网络中是$O(\Delta \log^3 n)$，其中$\Delta$为节点最大度。这回答了Awerbuch与Varghese（FOCS 1991）提出的开放问题。我们还表明$\Omega(\log n)$时间是必要的，即使在同步网络中亦如此。另一性质是，若发生$f$个故障，则在上述所需检测时间内，它们被某些节点在各自故障的$O(f\log n)$邻域内检测到。其次，我们展示了如何增强一种已知的使输入/输出算法自稳定的变换器。它现在以高效构造算法与高效自稳定证明标记方案为输入，产生高效自稳定算法。当用于MST时，该变换器产生内存最优的自稳定算法，其时间复杂度即$O(n)$，甚至显著优于先前算法（先前使用每节点$\Omega(\log^2 n)$内存比特的MST算法时间复杂度为$O(n^2)$，而最优空间算法的时间为$O(n|E|)$）。继承自我们的证明标记方案，我们的自稳定MST构造算法还具有以下两性质：（1）若构造结束后发生故障，则在同步网络内$O(\log^2 n)$时间或异步网络内$O(\Delta \log^3 n)$时间内被某些节点检测到；（2）若发生$f$个故障，则在上述所需检测时间内，在各自故障的$O(f\log n)$邻域内被检测到。我们还展示了如何以一定内存增加为代价改进上述两性质。