带婴儿的家庭：利用 FFT 加速 NP 难问题算法

假设一群人要去郊游，我们的任务是将他们安排到巴士中，且需满足若干约束，即某些人对不愿在同一辆巴士中见面。这是一个著名的着色问题，Bj"{o}rklund、Husfeldt 和 Koivisto 在 2009 年表明，利用容斥原理可在 $O^*(2^n)$ 时间内求解。另一种在 $O^*(2^n)$ 时间内解决该问题的方法是使用快速傅里叶变换 (FFT)。当且仅当包含图中每个独立集 $I \subseteq [n]$ 的单项式 $\prod_{i=1}^n x_i^{[i \in I]}$ 的多项式的 $k$ 次幂中含有单项式 $x_1x_2... x_n$ 时，该图是 $k$-可着色的。现假设我们有额外的约束：这群人中包含若干婴儿，且这些婴儿必须在巴士中由其亲属陪同。我们证明，如果婴儿数量是线性的，则该问题可在 $O^*((2-\varepsilon)^n)$ 时间内求解。我们利用此方法改进了有界平均度图上若干 NP 难问题（旅行商问题、图着色问题、完美匹配计数问题）的已知界，并简化了若干已知结果的证明。