基于极值集合论与 LWE 的访问结构隐藏可验证秘密共享：恶意多数与免通信验证

秘密共享允许将秘密在多个参与方之间分发，使得仅由访问结构指定的授权子集能够重构秘密。Sehrawat 与 Desmedt (COCOON 2020) 引入了隐藏访问结构，其在某些授权参与方子集协作前保持秘密。然而，他们的方案假设半诚实参与方且仅支持受限访问结构。我们通过构造一种支持所有单调访问结构的访问结构隐藏可验证秘密共享方案来解决这些缺陷。它是首个在恶意多数设置中支持作弊者识别与份额可验证性的秘密共享方案。我们方案的验证过程不产生通信开销。作为方案的构建模块，我们引入并构造了：(i) 一个包含集合 $h$ 个元素之 $> \exp\left(c\frac{2(\log h)^2}{(\log\log h)}\right)+2\exp\left(c\frac{(\log h)^2}{(\log\log h)}\right)$ 个子集的集合系统。我们的集合系统 $\mathcal{H}$ 定义于 $\mathbb{Z}_m$ 上，其中 $m$ 为非素数幂。$\mathcal{H}$ 中每个集合的大小可被 $m$ 整除，但其两两交集的大小不可整除，除非一个集合是另一个的子集；(ii) 带误差学习(LWE)问题的一个新变体，称为 PRIM-LWE，其中秘密矩阵采样为其行列式为 $\mathbb{Z}_q^*$ 的生成元，$q$ 为 LWE 模数。我们方案的安全性依赖于 LWE 问题的困难性，其份额大小为 $$(1+ o(1)) \dfrac{2^{\ell}}{\sqrt{\pi \ell/2}}(2 q^{\varrho + 0.5} + \sqrt{q} + \mathrm{\Theta}(h)),$$ 其中 $\varrho \leq 1$ 为常数，$\ell$ 为参与方总数。我们还提供了未来工作的方向，以将份额大小缩减至 $$\leq \dfrac{1}{3} \left( (1+ o(1)) \dfrac{2^{\ell}}{\sqrt{\pi \ell/2}}(2 q^{\varrho + 0.5} + 2\sqrt{q}) \right).$$