更大种群导致的指数级减速：$(\mu+1)$-EA 在单调函数上的表现

伪布尔单调函数是单峰函数，对某些爬山算法而言优化平凡，但对惊人数量的进化算法（EA）具有挑战性。一个总体趋势是：若如变异率等参数设置保守，EA 高效；否则可能需要指数时间。特别地，已知 $(1+1)$-EA 与 $(1+\lambda)$-EA 若变异率为某 $c<1$ 时的 $c/n$，可在伪线性时间内优化每个单调函数，但对于 $c>2.2$ 的某些单调函数需要指数时间。该陈述的后半部分对 $(\mu+1)$-EA 亦已知。本文中我们证明前半部分不适用于 $(\mu+1)$-EA。更确切地说，我们证明对每个常数 $c>0$，存在常数整数 $\mu_0$，使得变异率为 $c/n$、种群大小 $\mu_0\le\mu\le n$ 的 $(\mu+1)$-EA 需要超多项式时间优化某些单调函数。因此，仅将种群大小增加一个常数就对性能有灾难性影响。这与许多其他基准函数形成鲜明对比，在那些函数上增加种群大小要么显著提升性能，要么轻微影响性能。较大种群有害的原因在于：较大种群可能暂时降低对部分种群的选择压力。这使得不利变异在单个个体及其后代中积累。若种群在搜索空间中移动足够快，此类不利后代可成为未来世代的祖先，从而不良变异被保留。值得注意的是，该效应仅当种群以足够快的速度自我更新时发生，而这只能发生在远离最优处。这有违直觉，因为通常优化随接近最优而变难。