面向偏置噪声定制表面码的有限尺寸修正精确结果

可扩展量子纠错稳定子码的码容量阈值可表示为相应随机键伊辛模型的热力学相变。本文研究相位偏置噪声 $p_x=p_y=p_z/(2\eta)$（其中 $\eta\geq 1/2$，总错误率 $p=p_x+p_y+p_z$）下的 XY 和 XZZX 表面码。通过在旋转码几何中适当构建边界条件，我们在一个特殊无序点 $p=\frac{1+\eta^{-1}}{2+\eta^{-1}}\gtrsim 0.5$ 处，对任意奇数码距 $d$ 找到了精确解，此时这些码约化为一维伊辛模型。总逻辑失败率由 $P_{f}=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}e^{-2d_Z\,\text{artanh}(1/2\eta)}$ 给出，其中 $d_{Z}=d^2$ 和 $d$（分别对应两种码）是纯相位翻转噪声的有效码距。因此，对于码距 $d\ll \eta$ 且错误率接近阈值的情况，XZZX 码实际上等效于 $d$ 个量子比特上的相位翻转校正重复码。$d_Z<\eta$ 时较大的有限尺寸修正也使得从中等码距的数值计算中提取阈值变得不可靠。我们证明，不仅基于总逻辑失败率，还独立地基于相位翻转和比特翻转逻辑失败率来计算阈值，能给出更可信的估计。将此方法用于 XZZX 码，结合基于张量网络的解码器和高达 $d\approx 100$ 的码距，我们发现在中等偏置（$\eta=30, 100$）下，阈值收敛到单一值，且错误率高于哈希界。