估计稀疏对称矩阵幂的次对角元是 BQP 完全的
量子物理
2007-05-23 v2
摘要
设 A 为 size N 的实对称矩阵，使得每行非零元个数关于 N 为多对数(polylogarithmic)，且这些元的位置与值由可有效计算函数指定。我们考虑估计矩阵 A^m 的任意对角元 (A^m)_jj 至误差 \epsilon b^m 的问题，其中 b 为给定的 A 的范数上界，m 与 \epsilon 分别关于 N 为多对数与反多对数(inverse polylogarithmic)。我们证明该问题是 BQP 完全的。它可在量子计算机上通过反复将 A 对第 j 个基矢的测量施加并取结果的 m 次幂而高效求解。反之，每个求解 BQP 中问题的量子线路可编码进一个稀疏矩阵，使得对应于输入某个基矢 |j> 根据输入被接受与否诱导出两种不同的谱测度。这些测度可通过估计适当选取的 m 的 m 阶统计矩——即 A^m 的第 j 个对角元——来区分。该问题推广至非对角元时仍在 BQP 中，且若 A 仅有 -1、0 和 1 为元则保持 BQP 困难。
引用
@article{arxiv.quant-ph/0606229,
title = {Estimating diagonal entries of powers of sparse symmetric matrices is BQP-complete},
author = {Dominik Janzing and Pawel Wocjan},
journal= {arXiv preprint arXiv:quant-ph/0606229},
year = {2007}
}
备注
Improved presentation with simpler proofs, 17 pages, 1 figure