通信网络中的错误检测与纠正

设 $G$ 为具有 $n$ 个顶点的连通图，$C$ 为定义在字母表集合 $\{0,1\}^m$ 上的 $(n,k,d)$ 码，其中 $d\ge 2$。假设对于 $1\le i\le n$，$G$ 的第 $i$ 个顶点持有一个输入符号 $x_i\in\{0,1\}^m$，并令 $\vec{x}=(x_1,\ldots,x_n)\in\{0,1\}^{mn}$ 为由这些符号构成的输入向量。假设 $G$ 的每个顶点可以通过沿边传输消息与其邻居通信，并且这些顶点必须根据预定的通信协议确定性地决定 $\vec{x}\in C$ 是否成立。那么解决此问题的最小通信开销是多少？此外，如果 $\vec{x}\not\in C$，例如在 $x_i$ 中存在少于 $\lfloor(d-1)/2\rfloor$ 个输入错误，那么错误纠正的最小通信开销是多少？在本文中，我们启动了对上述两个问题的研究。对于错误检测问题，我们得到了作为 $n,k,d,m$ 函数的通信开销的两个下界，并且我们的界对于若干图和码是紧的。对于错误纠正问题，我们设计了一种在 $G$ 为环且 $C$ 为重复码时能够高效纠正单个输入错误的协议。我们还提出了若干值得进一步研究的有趣问题。