包络线作为二次、三次及特定任意次多项式的求解机

人人都从学校里知道如何以图解法求解形如 $x^2-px+q=0$ 的二次方程。但若需解多个方程，此方法可能变得繁琐，因为每一对 $(p,q)$ 都要重新绘制一条抛物线。令人惊讶的是，存在一条单一曲线，可用于通过对该曲线过给定点 $(p,q)$ 作切线来求解所有二次方程。本文中以初等方式推导此方法，并将其推广至形如 $x^n-px+q=0$（$n \ge 2$ 任意）的方程。此外，借助该技术可立即看出此类特定方程的解的个数。文末我们指出了其与平面中点与线对偶性以及勒让德变换概念的联系。