用于流形上函数逼近的特征网络

设 $\XX$ 是一个无边界、紧致、光滑、连通的黎曼流形，$G:\XX\times\XX\to \RR$ 是一个核函数。类似于径向基函数网络，特征网络是形如 $\sum_{j=1}^M a_jG(\circ,y_j)$ 的表达式，其中 $a_j\in\RR$，$y_j\in\XX$，$1\le j\le M$。我们描述了一种确定性的通用算法，用于构造特征网络以逼近 $L^p(\mu;\XX)$ 中的函数，适用于一大类测度 $\mu$ 和核函数 $G$。我们的算法产生线性算子。以中心点 $y_j$ 之间的最小间隔作为逼近代价，我们给出了特征网络逼近度的光滑模估计，并通过一个逆定理表明，对于每个\textit{单个函数}，这些估计都是最优的。我们还根据特征网络的范数给出了系数 $a_j$ 的估计。最后，我们证明，如果任何特征网络序列在光滑函数的逼近度上满足以最小间隔衡量的最优估计，那么这些特征网络的导数也能以最优方式逼近目标函数的相应导数。