模图 $C_{a,b,c,d}$ 的本征值方程

环面上的模图 $C_{a,b,c,d}$ 是一个三圈平面图，其中两个顶点的配位数为四，其余为二。我们获得了 $C_{a,b,c,d}$ 在 $a,b,c$ 和 $d$ 取一般值时满足的本征值方程，其中源项涉及各种模图。这是通过对环面世界面上 Beltrami 微分变分该图得到的。在分析的各个中间阶段使用若干辅助图，对获得该方程至关重要。事实上，本征函数并非简单的 $C_{a,b,c,d}$，而是由其减去由 $a,b,c$ 和 $d$ 表征的非全纯 Eisenstein 级数平方的特定和。