基于一种独特新颖图矩阵表示的高效最短路径算法

邻域矩阵 $\mathcal{NM}(G)$ 是 \cite{ALPaper} 中提出的一种新颖的图表示，利用顶点的邻域集定义。该矩阵还展示了两个著名图矩阵——邻接矩阵与拉普拉斯矩阵——乘积之间的双射关系。在本文中，我们扩展该工作并引入 $\mathcal{NM}(G)$ 的幂序列，记为 $\mathcal{NM}^{\{l\}}, 1\leq l \leq k(G)$，其中 $k(G)$ 称为\textbf{迭代次数}，$k(G)=\lceil{\log_{2} diameter(G)}\rceil$。该矩阵序列以深刻的方式刻画了顶点间的距离，并被发现可用于多种应用。本文一个有趣的结果是：当对 $1\leq l \leq k(G)$ 有 $\eta_{ij}^{\{l\}}=-1$ 时，则 $d_{G}(i,j)=2^{l}$，其中 $d_{G}(i,j)$ 是 $i$ 与 $j$ 之间的最短路径距离。此外，我们对每个 $l, 1\leq l \leq k(G)$ 的矩阵 $\mathcal{NM}^{\{l\}}$ 的元素进行了刻画。利用邻域矩阵幂序列的概念及其若干性质，我们提出了一种在给定无向无权重简单图中求任意顶点对之间最短路径的算法。所提算法及其中的断言通过合成数据及来自 Facebook 的真实网络数据上的仿真得到形式化验证，其中对包含大尺寸图的大量图集合进行了基于采样的计算。实证结果颇为可观，我们的算法在所有现有著名最短路径算法中具有最佳运行时间。