有限状态独立正规对的高效构造

有限状态独立性是一种针对无限序列的算法独立性的稳健概念。Becher、Carton 和 Heiber 通过确定性异步双带有限自动机首次提出了此概念。\'Alvarez、Becher 和 Carton 随后研究了正规情况，并以确定性有限状态混合器对有限状态独立性进行了表征。混合器是一种有限自动机，从两个输入带 $x,y\in\Sigma^\infty$ 中读取，在每一步中选择一个带读取下一个符号、输出读取的符号、并仅基于该输出符号更新其状态。就这种表征而言，两个正规来源是有限状态独立的，如果对每一种确定性有限状态混合方式，混合后的输出仍然是正规序列。\'Alvarez、Becher 和 Carton 提出了以下问题：（1）能否高效计算有限状态独立的正规对，改进其双指数程序；（2）给定正规词 $x$，能否有效构造一个与 $x$ 具有有限状态独立性的正规词 $y$？我们通过显式确定性构造来回答这两个问题。首先，我们给出一种确定性多项式时间算法，该算法在输入 $N$ 时，输出两个正规词 $x$ 和 $y$ 的前 $N$ 个符号，使得对于每个混合器 $S$，混合输出 $S(x,y)$ 都是正规的；因此 $(x,y)$ 是有限状态独立的。其次，我们解决了单侧伴随问题。给定任意可计算的正规词 $x\in\Sigma^\infty$，我们给出一种显式确定性构造，生成一个可计算的正规词 $y\in\Sigma^\infty$，使得对于每个混合器 $S$，混合输出 $S(x,y)$ 都是正规的。特别是，$x$ 和 $y$ 是有限状态独立的。