随机数据上的动态规划优化：近优解的标度指数

动态规划可解的算法问题的一个非常简单的例子是：对于给定的 $\xi_i > 0$，在集合 $A \subseteq \{1,2,...,n\}$ 上最大化目标函数 $|A| - \sum_i \xi_i 1(i \in A, i+1 \in A)$。该问题带有随机 $(\xi_i)$，为研究组合优化问题中最优解与近优解之间的关系提供了一个测试范例。我们表明，在与最优解仅在很小比例 $\delta$ 的位置上不同的解中，我们可以找到其目标函数值与最优值相差 $\delta^2$ 量级但不小于该量级的近优解。我们猜想这种关系在随机数据上的动态规划背景下广泛成立，且针对 Kauffman-Levin NK 模型的蒙特卡洛模拟与该猜想一致。这项工作是对 Aldous-Percus (2003) 发起的一个广泛计划的技术贡献，该计划旨在将此类标度指数与优化问题的算法难度联系起来。