高效且近最优的在线投资组合选择

在 Cover (1991) 提出的在线投资组合选择问题中，交易者在 $T > 1$ 个轮次中每轮将资金分配于 $d$ 项资产，目标是最大化总收益。Cover 提出了一种称为 Universal Portfolios 的算法，其表现几乎与（事后看）最优的静态投资组合配置相当，在对数收益意义下具有 $O(d\log(T))$ 的遗憾值。在不对市场施加任何限制的条件下，该保证已知为最坏情况最优，且迄今未发现其他达到该保证的算法。遗憾的是，Cover 的算法关键依赖于计算某个 $d$ 维积分，该积分在任何实现中都必须被近似；这导致已知最快的 Kalai 与 Vempala (2002) 实现具有每轮高昂的 $\tilde O(d^4(T+d)^{14})$ 运行时间。我们提出了一种在线投资组合选择算法，其享有与 Universal Portfolios 基本相同的遗憾保证——相差一个常数因子并将 $\log(T)$ 替换为 $\log(T+d)$——但每轮运行时间大幅降至 $\tilde O(d^2(T+d))$。所选投资组合最小化当前对数损失，并以海森矩阵的对数行列式为正则项——等价地，即由资产收益向量所指定多面体的混合对数-体积障碍。由此，我们的工作揭示了在线投资组合选择与优化理论中两个经典主题：割平面法与内点算法的惊人联系。