基于抗擦除设计的针对预处理 Lasso 的分布硬度

具有病态条件高斯随机设计的稀疏线性回归被广泛认为存在统计/计算鸿沟，但令人惊讶的是，即使以受限算法类难以处理的例子形式，也几乎没有支持这一信念的形式化证据。近期工作表明，对于某些协方差矩阵，广义的预处理 Lasso 规划在次线性样本数下，对多对数稀疏信号必然无法成功。然而，该下界仅表明对每个预条件子，至少存在一个它无法成功恢复的信号。这留下了如下可能：例如，尝试多个不同的预条件子可解决每一个稀疏线性回归问题。本文证明了克服此问题的更强下界。对于适当的协方差矩阵，我们构造了单一信号分布，在该分布下，任何可逆预处理 Lasso 规划若未获得线性数量样本，则以高概率失败。令人惊讶的是，我们下界的核心在于压缩感知中的一个新的正面结果。我们证明标准稀疏随机设计以高概率对抗性测量擦除具有鲁棒性，即若擦除 $b$ 个测量，则除 $O(b)$ 个信号坐标外其余所有坐标在信息论上仍可辨识。据我们所知，这是首次在压缩感知中研究擦除下任意稀疏信号的部分可恢复性。