Lanczos方法的数值稳定性

用于矩阵三对角化的Lanczos算法在有限精度算术中评估矩阵特征值时，会遭受强烈的数值不稳定性。这种不稳定性产生的机制在文献中已有充分记载。Bai、Fahey和Golub最近提出的Lanczos算法应用允许对形如$\psi^\dagger g(A) \psi$的内积进行求积评估。我们证明了这种求积评估是数值稳定的，并解释了在Bai、Fahey和Golub算法中，作为有限精度Lanczos三对角化过程基本要素的数值误差是如何被自动且精确补偿的。在此过程中，我们对舍入误差破坏Lanczos过程的机制有了新的认识。