关于与 Gorenstein 代数相关的 $\mathbb{N}$ grading 顶点代数

本文研究了不可约 $\mathbb{N}$ grading 顶点代数 $V = \bigoplus_{n=0}^{\infty} V_n$ 的代数结构，强调 $V_0$（交换结合代数）与 $V_1$（Leibniz 代数）之间以及非退化双线性形态对整体结构的微妙相互作用。我们建立了不可约性和局域性在 $\mathbb{N}$ grading 顶点代数中的基础性质，主要结果表明局域性、不可约性以及 semiconformal-vertex 代数中特定结构条件的等价性。对 semiconformal-vertex 代数的对称不变双线性形态的研究得以进行。我们还检查了 $V_0$ 和 $V_1$ 的结构特征，阐明了哪些 $\mathbb{N}$ grading 顶点代数不能是准顶点算子代数、semiconformal-vertex 代数或顶点算子代数的条件，并探讨了与 Gorenstein 代数相关的 $\mathbb{N}$ grading 顶点代数。我们的分析包括考察 $V_0$ 的 socle、Poincaré 二次对偶性以及不变双线性形态及其对 $V_1$ 的影响，提供将秩为1的 Heisenberg 顶点算子代数嵌入 $V$ 的条件。支持性例子和详尽的理论洞见进一步阐述了这些代数结构。