基于 Kolmogorov-Arnold 表示的 MAC 上分布式计算

Kolmogorov 表示定理为将任意实值、多元连续函数分解为有限个函数的两层嵌套叠加提供了框架。这两层中的函数分别称为内层函数与外层函数，其关键性质是内层函数的设计与待计算的原始函数无关。这为内层函数及随后部分计算的设计带来了模块性与普适性。本文利用函数表示中的这种模块性与普适性，提出两种用于加性多址信道（MAC）上分布式计算的框架。在第一种框架中，每个信源编码内层表示并通过加性 MAC 发送，随后接收端计算外层函数以得到目标函数。直接传输内层函数值而非消息本身带来了压缩增益。在第二种方法中，为了进一步提高压缩率，该框架旨在将外层函数的计算也移至信源端。具体而言，每个信源采用基于图着色的方法对内层与外层函数进行联合函数压缩，相较前者可取得进一步压缩节省。这些模块化编码方案在渐近 regime 与非渐近 regime 均给出精确表示。与信源直接通过 MAC 传输数据的基线模型对比，我们观察到增益。为展示这两种框架的增益及其差异，将它们应用于分布式系统中若干常用计算，例如计算乘积、$\ell_m$-范数、多项式函数、函数极值以及仿射变换。