$\mathbb R^d$ 与 $\mathbb Z^d$ 作用的定向遍历性与弱混合

对于 Lebesgue 概率空间 $(X,\mu)$ 上保持测度的 $\mathbb Z^d$ 作用 $T$,其中 $L\subseteq\mathbb R^d$ 是一个线性子空间,我们定义方向 $L$ 遍历性、弱混合与混合的概念。对于 $\mathbb R^d$ 作用,这些概念显然对应于 $T$ 到 $L$ 的限制的相同性质。对于 $\mathbb Z^d$ 作用 $T$,我们通过使用单位悬架 $\widetilde T$ 到方向 $L$ 的限制以及 $L^2(\widetilde X,\widetilde \mu)$ 中垂直于悬架旋转因子的子空间来定义它们。我们表明,对于 $\mathbb Z^d$ 作用,这些性质是谱不变量,正如它们对于 $\mathbb R^d$ 作用显然是的那样。我们表明,对于两种情形下的弱混合作用 $T$,定向遍历性蕴含定向弱混合。对于遍历的 $\mathbb Z^d$ 作用 $T$,我们探讨了通过单位悬架定义的定向性质与 $T$ 在 $\mathbb R^d$ 作用中的嵌入之间的关系。还讨论了泛型问题以及非遍历和非弱混合方向的结构。