微分算子、文法与杨表

在代数组合学与形式计算中，上下文无关文法由基于一组替换规则的形式导数定义。本文从三个相关视角探讨这一问题。首先，我们引入一种微分算子方法。作为应用之一，我们推导出 Narayana 多项式的一个新文法。其次，我们研究与 Euler 多项式相关的正规序文法。第三，受微分偏序集理论的启发，我们引入一种盒子排序算法，该算法在 $(cD)^nc$ 展开式中的项与一类有序弱集合划分之间建立双射，其中 $c$ 是关于不定元 $x$ 的光滑函数，$D$ 是关于 $x$ 的导数。利用从有序弱集合划分到标准杨表的映射，我们找到了 $(cD)^nc$ 用标准杨表表示的展开式。将此与上下文无关文法理论相结合，我们用标准杨表为 Ramanujan 多项式、André 多项式、左峰多项式、内峰多项式、A 型和 B 型 Euler 多项式、$1/2$-Euler 多项式、二阶 Euler 多项式以及 A 型和 B 型 Narayana 多项式提供了统一的解释。沿着同样的思路，我们给出了 $c^kD$ 的幂用标准杨表表示的展开式，其中 $k$ 为正整数。特别地，我们为二阶 Euler 多项式提供了四种解释。以上所有内容均适用于形式微分算子环理论。