在O(1/ε^2)摊还更新时间内确定性维护(2+ε)-近似最小顶点覆盖

我们考虑在通过边插入/删除序列动态更新的$n$节点图$G = (V, E)$中维护（近似）最小顶点覆盖的问题。我们展示了如何在此设定下以$O(1/\epsilon^2)$摊还更新时间“确定性地”维护一个$(2+\epsilon)$-近似最小顶点覆盖。在我们工作之前，已知用于维护$(2+\epsilon)$-近似最小顶点覆盖的最佳确定性算法由Bhattacharya、Henzinger和Italiano [SODA 2015]提出。其算法更新时间为$O(\log n/\epsilon^2)$。近来，Bhattacharya、Chakrabarty、Henzinger [IPCO 2017]与Gupta、Krishnaswamy、Kumar、Panigrahi [STOC 2017]展示了如何对同一问题在$O(1)$摊还更新时间内维护$O(1)$-近似。我们的结果相对Bhattacharya等人[SODA 2015]的更新时间给出了“指数级”改进，并几乎匹配Solomon [FOCS 2016]的“随机化”算法性能，后者获得近似比$2$与期望摊还更新时间$O(1)$。我们通过一种新技术分析Bhattacharya等人算法的一个变体而推导出该结果。我们考虑一种理想化设定，其中算法的更新时间可取任意分数值，并由此设定中的洞见提出适当的势函数。从概念上讲，该框架模仿了优化问题的LP-松弛思想。不同之处在于，我们松弛的是算法自身的更新时间，而非整数目标函数。我们相信该技术将在动态算法分析中找到进一步应用。