概率空间上的确定性与随机 Frank-Wolfe 递归

受应急响应和实验设计等应用的启发，我们考虑在欧几里得空间紧子集上支持的概率测度上的光滑随机优化问题。以影响函数为变分对象，我们构建了一种针对概率空间的确定性 Frank-Wolfe（dFW）递归，这种方法之所以可行，主要归功于一种将无限维 Frank-Wolfe 子问题的解识别为“闭式”形式的引理。dFW 的每个迭代均表示为现有迭代与其集中在影响函数最小值处的 Dirac 测度之间的凸组合。为了处理仅能获取目标函数和影响函数蒙特卡洛观测的常见应用场景，我们构建了一种随机 Frank-Wolfe（sFW）变体，生成一系列随机概率测度，这些测度使用越来越准确的影响函数估计值的最小值构建。我们展示，sFW 的最优间隙序列在光滑凸目标下几乎必然和期望意义上具有 $O(k^{-1})$ 的迭代复杂度；对于光滑非凸目标，具有 $O(k^{-1/2})$（以 Frank-Wolfe 间隙计）。此外，我们表明，一种易于实现的固定步长、固定抽样版本的 sFW 可指数收敛到 $\varepsilon$ 最优性。我们以高斯极限定理收尾，说明所生成的随机测度序列上观察到的目标值。为进一步直观，我们包括若干具有精确影响函数计算的示例。