基于扩展AIC型方法的主成分个数检测

估计主成分个数是信号处理（或尖峰协方差模型）等许多科学领域中的基本问题之一。在本文中，我们首先证明，对于固定的$p$，任何形式为$k'(p-k'/2+1/2)C_n$的惩罚项在条件$C_n\to\infty$且$C_n/n\to0$下可能导致渐近一致估计量。我们还将结果扩展到$n,p\to\infty$且$p/n\to c>0$的情形。在此情形下，对于$k=o(n^{\frac{1}{3}})$，我们首先在条件$\lambda_k>1+\sqrt{c}$下研究样本协方差矩阵$S_n$的前导特征值的极限定律。在低信噪比下，由于AIC倾向于低估信号数$k$，AIC在此情形下应被重新定义。作为固定$p$时AIC的自然扩展，我们提出扩展AIC（EAIC），即带调谐参数$\gamma=\varphi(c)=1/2+\sqrt{1/c}-\log(1+\sqrt{c})/c$的AIC型方法，并证明EAIC型方法（即带调谐参数$\gamma>\varphi(c)$的AIC型方法）能一致地选择信号数$k$。在以下两种情形中，(1) $p$固定，$n\to\infty$，(2) $n,p\to\infty$且$p/n\to 0$，若AIC定义为$n,p\to\infty$且$p/n\to c>0$情形下EAIC的退化，即$\gamma=\lim_{c\rightarrow 0+0}\varphi(c)=1$，则我们实质上已证明，为使上述两种情形中AIC型方法的一致性，需要$\gamma>1$。此外，我们表明EAIC型方法本质上是免调谐的，并且优于Kritchman和Nadler (2008)提出的著名KN估计量以及Bai、Choi和Fujikoshi (2018)提出的BCF估计量。数值研究表明所提方法表现良好。