谱数据中边缘的检测 II. 非线性增强

我们讨论一种从具有有限个跳跃间断的分段光滑函数中恢复边缘的通用框架,其中 $[f](x):=f(x+)-f(x-) \neq 0$。我们的方法基于两个主要方面——使用适当集中核的局部化,以及通过非线性增强的尺度分离。为检测此类边缘,采用依赖于小尺度 $\epsilon$ 的集中核 $K_\epsilon(\cdot)$。我们证明,恰当缩放的奇核且可容许的(在具有阶 ${\cal O}(\epsilon)$ 的小 $W^{-1,\infty}$-矩的意义下)满足 $K_\epsilon*f(x) = [f](x) +{\cal O}(\epsilon)$,从而恢复所有边缘的位置与幅值。作为一个例子,我们考虑形式为 $K^\sigma_N(t)=\sum\sigma(k/N)\sin kt$ 的一般集中核,以从分段光滑函数 $f$ 的前 $1/\epsilon=N$ 个谱模式检测边缘。在此我们相较此前研究 [A. Gelb and E. Tadmor, Appl. Comput. Harmon. Anal., 7 (1999), pp. 101-135] 在一般性与简洁性上有所改进。周期与非周期谱投影均被考虑。我们特别辨识出一族具有优越局部化性质的新指数因子 $\sigma^{exp}(\cdot)$。我们边缘检测的另一面涉及基于边缘间尺度分离的非线性增强过程,其中 $K_\epsilon*f(x)\sim [f](x) \neq 0$,而在光滑区域 $K_\epsilon*f = {\cal O}(\epsilon) \sim 0$。数值例子表明,将集中核与非线性增强结合可得到有效的边缘检测器。